Littlewood a démontré le théorème, « Ou bien la fonction ζ ou bien la fonction ζ' a une infinité de zéros dans la bande 1 – δ < σ < 1, δ étant une quantité positive arbitrairement petite. La plupart des preuves, nécessitant une formation spécialisée en théorie analytique des nombres, sont omises ici. 1 σ = s Les coefficients 2lnn, donc, à peu de choses près (je me garde bien de dire qu’il s’agit d’un équivalent), (un)n∈N∗ se comporte comme 1 n2 n∈N∗. {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} s ⁡ La fonction 1/ζ est également presque périodique sur Re(s) > 1 ainsi que ses dérivées. Pour les zéros de l'axe Re(s) = 1/2, la coupure pratiquée relie le point à l'infini au zéro considéré par une ligne parallèle à l'axe réel. {\displaystyle \sigma _{a}={\rm {Id}}^{a}*{\mathbf {1} }. « Soit f une fonction analytique dans le disque |z| ≤ r contenant les zéros a1, a2, … , an. + σ b 1 ζ Ces zéros sont appelés les zéros triviaux. Pour cela, on étudie le reste Rn(α)= X∞ k=n 1 kα. L'objectif est alors devenu plus modeste : démontrer une partie de l'hypothèse de Riemann. + 1 Les Bn désignant les nombres de Bernoulli, comme on a, pour tout t tel que | t | < 2π, en remplaçant dans la première intégrale et en intégrant terme à terme, on trouve, La série est convergente et définit une fonction holomorphe partout sauf aux entiers négatifs ou nuls (car pour s différent de ces valeurs, le rayon de convergence de la série entière de coefficients Bn/n! , s ⁡ 2 2 Critères de Cauchy et de d'Alembert Rappelons tout d'abord que la série géométrique converge si , diverge sinon. + La relation fonctionnelle fournit les zéros réels et également l’ordre de ces zéros : ils sont simples. ( + ¯ 2 ( = = {\displaystyle \gamma _{0}} 2 ) I + . La relation fonctionnelle approchée (voir plus haut) donne : μ(1/2) ≤ 1/6 < 0,16667. ln 1 n En faisant tendre N vers l'infini et en restant dans le demi-plan Re(s) > 1, on en déduit pour tout entier n = 1, 2, 3… que. 0 Il en est de même de ses dérivées. ↦ − , , on obtient k Par le principe de prolongement holomorphe, on a donc. ( Quand on regarde les applications arithmétiques de la fonction ζ, on est frappé par l'usage quasi systématique des fonctions 1/ζ, ζ'/ζ, ou ln ζ mais la fonction ζ elle-même apparaît rarement au numérateur. − ( La dernière modification de cette page a été faite le 7 février 2021 à 17:03. s Et bien voilà j'ai la suite suivante. n 1 . I As an example, the series 1 – 1 + 1/2 – 1/2 + 1/3 – 1/3 … π ) {\displaystyle \ln \zeta (\sigma +\mathrm {i} t)=O{\Big (}(\ln t)^{\alpha }{\Big )}} ≥ Elle est particulièrement courte. n   σ ν ( Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > 1 + max (0, 2Re(a)) avec On montre aussi que la fonction ν(σ) de Euler a calculé (dans le cadre de sa solution au problème de Bâle) la valeur de la fonction ζ pour les entiers strictement positifs pairs en utilisant l'expression de ) s = Si Re(ζ(s)) s'annule q fois entre 2 + iT et 1/2 + iT, cet intervalle est divisé en q + 1 parties à travers lesquelles Re(ζ(s)) ne prend qu'un signe, soit + soit –. 1 ∞   ( 2 ) La fonction ζ de Riemann est une fonction analytique complexe méromorphe définie, pour tout nombre complexe s tel que Re(s) > 1, par la série de Riemann : D'après la théorie des séries de Dirichlet[note 1], on déduit que la fonction ainsi définie est analytique sur son domaine de convergence. . 1 et − On en déduit que la série génératrice des ζ(2k) pour k ≥ 0 est donnée par : Par exemple, on a : Une observation assez frappante est que ces sommes sont toutes de la forme suivante, pour p entier naturel non nul : Par exemple ∫ i Les propriétés statistiques des zéros non triviaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques, ainsi que d'interprétations probabilistes[41],[42]. 1 {\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s)} ( Autrement dit, plus de deux cinquièmes des zéros de ζ sont sur la droite critique Re(s) = 1/2. , Pour les séries de Dirichlet de ln ζ et 1 / ζ, l'application de la deuxième formule de Perron montre qu'elles convergent sur l'axe Re(s) = 1 en dehors de s = 1, tandis que la série de Dirichlet de ζ' / ζ. Pour les complexes s autres que 1 tels que Re(s) ≤ 1, la définition du logarithme de ζ(s) est plus délicate. n→+∞. δ ∑ + 2 Pour cela, on remarque que la fonction. S Approche analytique : La convergence de la série de Riemann de terme général 1/n s (s > 0) s'établit facilement, pour s supérieur à 1, par comparaison à l'intégrale de la fonction f : x → 1/x s = x-s sur l'intervalle [1,+∞[. n , puisque {\alpha\in\,]0,1 [} α ∈]0,1[, on pose. + 2 2 La fonction 1/ζ est étudiée conjointement avec la fonction ζ. Si T n'est pas l'ordonnée d'un zéro, 2πN(T) est égal à la variation de l'argument de ξ(s) le long du rectangle, conformément au principe de l'argument. 9. ∑ ε est paire. Le résultat suivant sert essentiellement à majorer la fonction 1/ζ sur des chemins bien répartis. puisque l'indicatrice d'Euler φ vérifie l'égalité 2 On a donc cherché à étendre ces formules pour σ ≤ 1. ) 945 ( Équivalent du reste de séries de Riemann L’objet de ce problème, issu d’une épreuve de Centrale, est de donner une approximation de la somme des séries de Riemann convergentes S(α)= X∞ n=1 1 nα où α est un réel strictement supérieur à 1. Le reste s'exprime dans la notation « de Landau » . On a vérifié numériquement sur plus de 1 500 000 000 zéros que leur partie réelle était bien 1/2[note 10]. a − 0 = = Les fonctions x ↦ Bn(x – [x]) étant périodiques et polynomiales sur [0 ; 1[, elles restent bornées sur l'intervalle d'intégration, donc l'intégrale à droite converge si Re(s) > 1 – n. Donc le membre de droite définit, sur Re(s) > 1 – n, une fonction ζn, holomorphe en dehors de 1, qui prolonge ζ. L'unicité du prolongement analytique montre que les fonctions ζn et ζn + 1 sont identiques sur Re(s) > 1 – n. Ces identités permettent donc de définir une unique fonction méromorphe sur tout le plan complexe (avec un seul pôle en 1), coïncidant avec la fonction ζ déjà définie pour Re(s) > 1 et qu'on appelle encore ζ. ⁡ s La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1. 1. ) d ∑ 1 2 n {\displaystyle D_{\zeta }:=\{s\in \mathbf {C} \mid {\text{Re}}(s)>1\}} 1 − = + ≤ k Expliquons quand même un peu où {\displaystyle -2^{s}{\frac {\zeta (s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }v^{-s-1}\{2v\}\,\mathrm {d} v} Le terme général de la série (∑ un) se trouve majorée par le terme général d'une série géométrique de raison q inférieure à 1, qui est convergente. + ) Cette estimation est donnée par un théorème général sur les séries de Dirichlet : « Soient k s En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équivalents et développements de suites : Équivalent d'une suite définie par une somme Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une somme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. 1 − ) π a {\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int _{1}^{T}|\zeta (\sigma +\mathrm {i} t)|^{2k}\mathrm {d} t=O(1)} x 2 k 1 1 s Il existe donc une infinité de zéros dans la bande critique mais, actuellement, on ne sait pas exactement où. − | Classiques – Maths Série de Riemann alternée. ν − s On connaît alors la valeur exacte de la fonction μ. ( ↦ On pratique donc également une coupure parallèle à l'axe réel en reliant les deux zéros symétriques par rapport à l'axe Re(s) = 1/2. s Pour les autres zéros, encore hypothétiques, de la forme β + iγ avec β ∈ ]0, 1[, ils sont répartis symétriquement par rapport à l'axe Re(s) = 1/2. Par contre sur l'axe Re(s) = 1, la presque périodicité de Bohr cède sa place à la presque périodicité B2, au sens de Besicovitch. f décroît strictement et on a pour tout p : . Cela constitue le théorème de Dirichlet. On a en effet, Utilisant la formule des compléments et la relation fonctionnelle, on trouve pour t non nul, L'application de l'équation fonctionnelle et de la formule de Stirling, et le comportement asymptotique de sin(σ + it) permet de montrer que, On peut estimer, uniformément dans la bande critique, ζ(s) par la formule, De la méthode de Vinogradov-Korobov on déduit la majoration suivante : à positif strictement a ln(n).Je voulais minorer un=a ln(n) par vn mais je n'ai pas trouvé puis je me suis mis à chercher un équivalent en +oo avec un dl mais ln(n) est une fonction de base. {\displaystyle \int } (pour x non entier), qui donne. ∑ k = 0 m n | d k, n | = O ( n 1 / 2 + ε) for any ε > 0 as n → ∞. n {\displaystyle [2,2+\mathrm {i} T,1/2+\mathrm {i} T]} − On démontre que seuls les zéros à une distance de t inférieure à 1 interviennent vraiment. ln n », « L'hypothèse de Riemann est équivalente à l'absence de zéro non trivial de la dérivée ζ' dans le demi-plan σ < 1/2. α ∈ ] 0, 1 [. − Cette formule est un cas particulier de l'égalité valide pour Re(s) > 1 et 1 n / ... Séries Entières. ) La théorie de la fonction ζ de Riemann est presque tout entière dominée par la question de la répartition de ses zéros. μ = u M pour un certain δ fixe strictement positif. Les critères de Cauchy et de d'Alembert permettent de comparer une série à termes positifs avec les séries géométriques. 2 Alors, Ces estimations permettent de donner une estimation asymptotique pour le zéro de rang n, βn + iγn sous la forme, Cette formule montre d'une part que l'ordre m(ρ) de chaque zéro ρ est majoré par, et d'autre part que la distance entre deux zéros tend vers 0. s Le présent article commence par la définition de la fonction à partir de la série de Dirichlet puis cette définition est étendue au plan complexe privé de 1. ( ( On retrouvera ces deux fonctions dans l'étude des zéros non triviaux de ζ. 1 k γ ∑ = Le développement de Laurent à l'ordre 0, ∞ b 2 2 Les théorèmes que nous verrons dans le prochain chapitre nous disent que cette série converge ou diverge selon la valeur de sa raison : 1. une raison inférieure ou égale à 1 fait diverger la série ; 2. une raison supérieure à 1 la fait converger. ). {\displaystyle \sigma ={\rm {Id}}*{\mathbf {1} }. = 9450 ( 30 σ T Cette hypothèse, formulée dès 1859 par Bernhard Riemann, a de très grandes conséquences dans le comportement asymptotique de nombreuses fonctions arithmétiques qui se trouvent liées à ζ. Les conséquences sur le comportement de la fonction ζ sont nombreuses. σ I il existe deux constantes c et C strictement positives telles que pour tout σ ∈ [1/2 ; 1] et t > 3, on ait. C Donc dans chaque partie la variation de l'argument de ζ(s) n'excède pas π. et ainsi la variation totale de l'argument est inférieure à (q + 3/2)π. Il reste à évaluer q. {\displaystyle a\in \mathbf {C} }, puisque | On conjecture que toutes les valeurs aux entiers impairs sont irrationnelles et même algébriquement indépendantes sur ℚ(π)[4], en particulier transcendantes. ∞ } 1 = étant la factorielle croissante. 2 γ = D'autre part, les zéros ρ sont comptés autant de fois que leur multiplicité dans ces sommes. ν de telle sorte que tous les termes , sauf le premier tendent vers 0. 16.1 The Riemann zeta function De nition 16.1. I 2 C u Elle ne dit rien sur la multiplicité des zéros. Ici, Γ désigne la fonction gamma. 1 Cela a entre autres pour conséquence immédiate que μ(1/2) = 0. 1 En l'appliquant à la fonction ζ, on trouve immédiatement, pour σ > 1. 1 2 + ( sin , mais pas en s = 0 par suite du facteur Γ(1 – s). La série de Riemann de paramètre complexe α converge absolument si Re(α) > 1, et diverge si Re(α) ≤ 1. puisque la fonction de Liouville vérifie l'égalité Elle résulte de la formule issue de la formule sommatoire d'Abel déjà donnée en remarquant que l'intégrale est toujours positive et affectée du signe –. {\displaystyle t\mapsto {\frac {1}{\mathrm {e} ^{t}-1}}} + On a ainsi cherché à les démontrer indépendamment de cette hypothèse, ce qui s'avéra parfois possible. . d {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}+\ldots }. 2 Elle se traduit en disant que la fonction I 2 π d Enfin, les conjectures classiques sont examinées : définitions, conséquences, critères équivalents. ∈ , 8 C 66 k π −  : demi-droite dont les points ont pour argument 0, décrite de +∞ à ν. 1 n On part à nouveau de l'expression intégrale vue plus haut, pour tout complexe s tel que Re(s) > 1 : D'une autre part, on considère la fonction h sur l'ensemble ∞ 2 − En 2000, Tanguy Rivoal a démontré[2] qu'il existe une infinité de nombres irrationnels parmi les valeurs aux entiers impairs. L'inégalité de Laforgia et Natalini est la suivante[27] : Ahsan, Lam-Estrada, Lopez-Bonilla et Lopez-Vazquez ont démontré l'inégalité suivante[28] : Elle implique l'inégalité de Laforgia et Natalini. Autrement dit, l'hypothèse de Riemann implique l'hypothèse de Lindelöf (voir plus bas). . La question qui se pose alors est celle de l'estimation de cet exposant. 0 ∗ 3 ) puis en inversant 42 k I ) γ d , ce qui montre que la fonction ζ admet un pôle d'ordre 1 en 1 et de résidu 1. t {\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon }}+\gamma +o(1)} , n >1, converge (série de Riemann d’exposant α > 1), la série de terme général un. + n {\displaystyle D'(s)={\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}} n N'est pas destiné à une étude systématique de la fonction zêta de Riemann, en ligne. / ∈ Il prend la forme de l'estimation de l'expression. Share. ) (s´erie de Riemann g´en ´erale) u n = 1 n2 (une s´erie de Riemann) S´erie de Riemann Aim´e Lachal. ( {\displaystyle \sum _{k}} ζ = = ∑ ⁡ On a en effet, Pour les zéros de la droite critique, on sait qu'il existe une constante C telle que, pour tout T ≥ 2 on a, On ne connaît pas la valeur exacte de la constante C mais Conrey a démontré en 1989 que. = 1 La question de la position des zéros de la dérivée ζ' est liée également à l'hypothèse de Riemann. 1 La théorie des séries de Dirichlet montre que dans la bande critique, la fonction est encore d'ordre fini sauf en s = 1. n On sait calculer explicitement la somme de la série de Riemann pour tout α entier pair supérieur ou égal à 2. 1 On examine ensuite ce qui se passe en 1. = ) . ν = − 1 ( n 1 = (voir infra). 1 . 1 1 1 , n où O est la notation de Landau, on déduit que la série[17]. i x 1 La borne inférieure a été améliorée par Dusart en 1999 qui montra, pour n >1. v λ ( n C σ k ∫ n2+n +1 n2+n −1 −1 = 2 n2+n −1 ∼. On appelle parfois cette formule produit eulérien. 1 d 2 {\displaystyle k\in \mathbf {N^{*}} } ) 2 Question 1 Étude de la convergence simple et uniforme de la suite . La fonction zeta de Riemann est la fonction définie sur ]1,+∞[ par : (∀x > 1), ζ(x) = X+∞ n=1 1 nx. {\displaystyle {\mathbf {1} }*{\rm {Id}}^{a}*{\rm {Id}}^{2a}=(\sigma _{a}\circ {\rm {Id}}^{2})*{\rm {Id}}_{Q}^{a}.} ⁡ 2 k ( Il peut être plus ou moins facile de majorer ou minorer, de calculer une limite ou de déterminer un équivalent simple, ce qui conduit à plusieurs versions de ces comparaisons : Règle de Riemann (1ère version) Soit un ≥ 0 . (sur l'axe réel), on a, ζ Il reste à montrer que le dernier terme est O(ln T). t 1 . α et {\displaystyle C_{1,\nu }} ) B On peut même trouver une formule exprimant chaque nombre premier en fonction des zéros de la fonction ζ de Riemann. σ ∑ ( ) 2 {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{x}{\frac {\mu (n)}{n}}\right|<{\frac {K}{\ln x}}} f , alors. Von Mangoldt utilise dans sa preuve le théorème des nombres premiers, démontré en 1896. 1 Les propriétés statistiques des zéros non triviaux de la fonction ζ ressemblent asymptotiquement à celles des valeurs propres de matrices aléatoires de l'ensemble gaussien unitaire pour les systèmes non-invariants par renversement du temps (GUE). B The Riemann zeta function is the complex function de ned by the series (s) := X n 1 ns; for Re(s) >1, where nvaries over positive integers. Sur une table numérique allant jusqu'à 10 000 de la fonction de Mertens M(x), Mertens en 1897 conjectura que l'on a, Cette conjecture a été réfutée en 1985 par Odlyzko et te Riele. 1 ∑ 1 On a aussi la formule de Ramaswami[18],[note 8] : Le prolongement analytique s'effectue par bandes de largeur 1. On sait seulement que 0 ≤ δ ≤ 1. − ( Il est donc important de connaître le comportement de la fonction sur l'axe Re(s) = 1. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de mécanique quantique non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant. {\displaystyle {\frac {B_{k+1}}{(k+1)!~(s+k)}}.}. ∑ n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les n + s – 1) et de même, au voisinage d'un entier négatif – k, elle est la somme d'une fonction holomorphe et du terme Le lien entre la fonction ζ et les nombres premiers avait déjà été établi par Leonhard Euler avec la formule, valable pour Re(s) > 1 : où le produit infini est étendu à l'ensemble b σ 4 n ) Pour les entiers impairs, le calcul n'est pas si simple. k montre que ζ est négative sur l'axe réel juste avant 1[note 9] (elle est positive après 1 de manière élémentaire puisque tous les termes de la série de Dirichlet sont alors positifs). ≤ 2 La fonction ζ ayant une infinité de zéros, ln ζ admet une infinité de points de branchement. 1 ) ) T Quant à l'intégrale Une fois cette formule démontrée initialement pour Re(s) > 1, l'expression à droite restant valable pour tout valeur bornée de s définit donc une fonction analytique. 1 − 4 1 8. n ) La série diverge. {\displaystyle a\in \mathbf {C} } − ζ s v = est convergente pour Re(s) = 1[note 7]. = d 0 ∑ ζ La définition de la série D se réécrit alors, Enfin en prenant le module de eD(s) = ζ(s) on obtient eRe(D(s)) = |ζ(s)| puis, prenant le logarithme réel on déduit. 1 Quand s tend vers – k, Γ(s) ayant un pôle simple en s = – k , ζ(s) est par conséquent la somme d'une fonction qui tend vers 0 et du terme : Ainsi, le prolongement méromorphe de ζ à tout le plan complexe n'a de pôle qu'au point 1, et l'on obtient au passage la formule d'Euler[note 5] : La fonction ζ(s) se prolonge aussi analytiquement par l'intégrale. / Cependant chaque nouvelle conséquence de l'hypothèse de Riemann est aussi une voie nouvelle pour l'infirmer. ∗ Par exemple, à l'ordre 3 : 1. u n = 1 + u n − 1 n = 1 + 1 + u n − 2 n − 1 n = 1 + 1 n + 1 + u n − 3 n − 2 n ( n − 1 ) … ∞ appliquer en comparant une série à termes positifs soit à une série de Riemann, soit à une série géométrique. − 2 N ≥ {\displaystyle S=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}} k n ∞ n x La théorie de la fonction M est très obscure et cela probablement pour longtemps. ( + Indépendamment de l'expression en fonction des facteurs primaires de Weierstrass, la valeur ζ(s) peut se calculer en fonction des zéros non triviaux les plus proches du point s = σ + it. s Pour ces points, on peut appliquer soit la série de Dirichlet de 1/ζ, qui converge sur Re(s) = 1, soit une autre relation du même genre[16]. a ⋯ ) ) D La formule de Stirling complexe donne alors, On connaît relativement peu de chose sur S(T) sans aucune hypothèse. } , c'est-à-dire que. | La partie entière [u] se décompose en u – {u}, où {u} désigne la partie fractionnaire de u. où ln est le logarithme réel habituel. n Or, ξ(s) est réelle pour t = 0 et également pour σ = 1/2, de sorte que la variation totale autour du rectangle est 2 fois la variation autour de la moitié en partant de s = 2. v 1 1 On peut, avec elle, obtenir une première estimation de |ζ(1/2 + it)|, l'objectif étant de démontrer l'hypothèse de Lindelöf (voir plus loin). L'hypothèse de Riemann entraine que l'on a δ = 0 dans le théorème de Valiron. {\displaystyle b\in \mathbf {C} } i s s d I 0 Γ μ ) 1 ∫ De cela on déduit, pour tout σ > 1/2, car l'exposant dans la formule précédente est inférieur à 0. }}=\sum _{n=0}^{\infty }2\zeta {(2n)}{\frac {x^{2n}}{(2\pi )^{2n}}},\,|x|<2\pi .}. ( Exercice 1 Soit la suite de fonctions définies pour par sur et si . 2 Les séries de Riemann ne sont autre que les séries des suites de Riemann, des suites de la forme : 1. u n = 1 n r {\displaystyle u_{n}={\frac {1}{n^{r}}}} Le coefficient r est appelé la raison de la suite, par analogie avec les suites géométriques. = = Pour les zéros triviaux, une coupure est pratiquée sur les intervalles [–4n – 4, –4n – 6[ pour tout n ≥ 0. ∑ N et puisque h est holomorphe sur tout le plan ce qui implique le prolongement de la fonction ζ en fonction méromorphe dans ℂ. Utilisant la formule sommatoire d'Abel, on trouve pour Re(s) > 1. 1 ∈ 0 où le produit s'effectue sur les zéros non-triviaux ρ de ζ et γ est la constante d'Euler-Mascheroni. ζ Ces suites peuvent être utilisées pour obtenir des formules équivalentes à l'hypothèse de Riemann. s ∀n >2, unexiste et de plus un∼. = k Q μ ⁡ + − T ∗ Au voisinage de , et dont les zéros sont les zéros non triviaux, on trouve avec le principe de l'argument[32]. + s N Ces zéros se traduisent par une infinité de zéros de ζ dans la bande Re(s) ∈]0, 1[. C a 1 = 1 2 + Une première coupure est pratiquée entre –2 et 1 (qui est aussi un point de branchement bien que ζ ne s'y annule pas). 1 = − Elle y est donc bornée sur tout demi-plan fermé strictement inclus. )
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